编辑“邏輯斯諦迴歸”

{{expert|time=2016-09-17T10:19:57+00:00}}
{{noteTA
|G1 = Math
|T = zh-cn:逻辑斯谛回归; zh-tw:邏輯迴歸;
|1 = zh-cn:逻辑斯谛; zh-tw:邏輯;
}}
'''邏輯迴歸'''（{{lang-en|Logistic regression}}，又譯作'''邏輯斯迴歸'''、'''羅吉斯迴歸'''、'''邏輯斯諦迴歸'''、'''对数几率迴归'''），在[[统计学]]中是一種对数几率模型（{{lang-en|Logit model}}，又译作逻辑斯谛模型、评定模型、分类评定模型），是[[离散选择法]]模型之一，属于[[多元变量分析]]范畴，是[[社会学]]、[[生物统计学]]、[[臨床研究|临床]]、[[数量心理学]]、[[计量经济学]]、[[市场营销]]等[[统计]]实证分析的常用方法。

通过使事件的对数发生率（log-odd）成为一个或多个自变量的线性组合，对事件发生的概率进行建模。形式上，在二元逻辑回归中，有一个二元因变量，由指示变量编码，其中两个值标记为“0”和“1”，而自变量每个都可以是二元变量（两个类，由指示变量）或连续变量（任何实值）。标记为“1”的值的相应概率可以在0和1之间变化；将对数发生率转换为概率的函数就是逻辑斯諦函数，因此得名。对数发生率单位称为''logit''，来自'''''logistic unit'''''。<ref>{{Cite book|edition=2. ed., [Nachdr.]|chapter=Applied logistic regression|series=Wiley series in probability and statistics|publisher=Wiley|date=200|location=New York|isbn=978-0-471-35632-5|first=David W.|last=Hosmer|first2=Stanley|last2=Lemeshow}}</ref>

二元变量在统计学中广泛用于对某一类别或事件发生概率的建模，例如团队获胜概率、患者健康概率等，而其中，逻辑模型则自大约 1970年以来最常用的二元回归模型。<ref>{{Cite journal |last=Cramer |first=J.S. |date=2003 |title=The Origins of Logistic Regression |url=http://www.ssrn.com/abstract=360300 |journal=SSRN Electronic Journal |language=en |doi=10.2139/ssrn.360300 |issn=1556-5068}}</ref>当存在两个以上可能值（例如图像是否是猫、狗、狮子等）时，二元变量可以推广为分类变量，并且二元逻辑回归推广为多项逻辑回归。如果多个类别是有序的，则可以使用序数逻辑回归。逻辑回归模型本身只是简单地根据输入对输出概率进行建模，并不执行统计分类。<ref>{{Cite journal |last=Walker |first=Strother H. |last2=Duncan |first2=David B. |date=1967-06 |title=Estimation of the Probability of an Event as a Function of Several Independent Variables |url=https://www.jstor.org/stable/2333860?origin=crossref |journal=Biometrika |volume=54 |issue=1/2 |doi=10.2307/2333860}}</ref>

== 例子 ==
以一个例子说明逻辑回归如何解决实际问题：

<blockquote>
一个小组20名学生，各自花费0~6小时准备考试，他们不同的学习时数如何影响通过考试的概率？
</blockquote>

问题中的因变量是考试“通过”或者“挂科”，这是用逻辑回归的原因，虽然分别用“1”和“0”表示，但这两个数字不代表[[基数 (数学)|基数]]。如果问题发生变化，用0-100的成绩（基数）代替通过、挂科，则可以使用回归分析。

下表显示每个学生花费在学习上的小时数，以及他们通过（1）或挂科（0）。
{| class="wikitable"
|-
!小时（''x<sub>k</sub>''）
| 0.50|| 0.75|| 1.00|| 1.25|| 1.50|| 1.75|| 1.75|| 2.00|| 2.25|| 2.50|| 2.75|| 3.00|| 3.25|| 3.50|| 4.00|| 4.25|| 4.50|| 4.75|| 5.00 || 5.50
|-
!通过（''y<sub>k</sub>''）
| 0|| 0|| 0|| 0|| 0|| 0|| 1|| 0|| 1|| 0|| 1|| 0|| 1|| 0|| 1|| 1|| 1|| 1|| 1|| 1
|}
对学习时间（''x<sub>k</sub>''）和测试结果（''y<sub>k</sub>'' = 1 表示通过，0 表示挂科）组成的数据进行拟合。数据点由下标k索引，该下标从1到20。x变量称为“[[自变量和因变量|自变量]]”，y变量称为“[[分类变量]]”，由“通过”或“失败”两个类别组成，分别对应于分类值1和0。
=== 模型 ===
[[File:Exam pass logistic curve.svg|thumb|400px|拟合''x<sub>m</sub>''，''y<sub>m</sub>''数据的逻辑回归曲线图。该曲线显示了通过考试的概率与学习时间的关系]]{{回归侧栏}}逻辑函数形式为：
:<math>p(x)=\frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}}</math>
其中''μ''是位置参数（曲线的中点，其中<math>p(\mu)=1/2</math>），''s''是尺度参数。该式可重写为：
:<math>p(x)=\frac{1}{1+e^{-(\beta_0+\beta_1 x)}}</math>
<math>\beta_0 = -\mu/s</math>称为截距，是直线<math>y = \beta_0+\beta_1 x</math>的''y''截距。<math>\beta_1= 1/s</math>是反比例参数或速率参数，是作为"x"函数的对数发生率的"y"截距和斜率。反之，<math>\mu=-\beta_0/\beta_1</math>，并且<math>s=1/\beta_1</math>。

== 逻辑斯谛分布公式 ==
[[File:Logistisch.svg|thumb|right|300px|逻辑斯谛分布函数图像]]
:<math> P(Y=1 | X=x) = \frac{ e^{x'\beta} }{1+ e^{x'\beta}}.</math>
其中参数<math>\beta</math>常用[[最大似然估計]]。

== IIA假设 ==
全名為'''Independent and irrelevant alternatives'''假设，也称作'''IIA效应'''，指Logit模型中的各个可选项是独立的。
=== IIA假设示例 ===

市场上有A，B，C三个商品相互竞争，分别占有市场份额：60%，30%和10%，三者比例为：6:3:1

一个新产品D引入市场，有能力占有20%的市场——

如果满足IIA假设，各个产品独立作用，互不关联：新产品D占有20%的市场份额，剩下的80%在A、B、C之间按照6:3:1的比例瓜分，分别占有48%，24%和8%。

如果不满足IIA假设，比如新产品D跟产品B相似度高，则新产品D的[[CP值]]高而夺去产品B的部分市场(总份额的20%)，則产品B剩余10%，而产品A和C的市场份额保持60%和10%不变。

=== 满足IIA假设的优点 ===
* 可以获得每个个性化的选择集合的一致的[[参数估计]]
* 各个类别的[[子集]]的一般化的[[估计]]
* 大大节省时间
* 可选项数目很多的时候尤其如此

=== IIA假设的检验 ===
==== Hausman检验 ====
[[傑里·A·奧斯曼]]和[[丹尼爾·麥克法登]]提出的。

==== 一般化模型的检验 ====
=== IIA问题的解决方法 ===
{{机器学习导航栏}}
==== [[多项式Probit模型]] ====

==== [[一般化极值模型]] ====
可以将可选项间的[[相关性]]建模
===== 巢式Logit模型 =====
巢式（Nested）表示可选项被分作不同的组，组与组之间不相关，组内的可选项相关，相关程度用1-λ<sub>g</sub>来表示（1-λ<sub>g</sub>越大，相关程度越高）

===== 对偶组合Logit模型 =====
===== 一般化分簇Logit模型 =====
==== 混合Logit模型 ====

== 应用 ==

=== 配體結合分析 ===
配體結合分析的典型校准曲线是S形的，下边界（渐近线）靠近背景信号（非特异性结合），而上渐近线靠近最大的饱和响应。 四参数逻辑模型通常是拟合这种形状校准曲线的首选，可以准确描述测量信号值与分析物浓度之间的S形关系。当不对称性明显时会添加第五个参数，但可能会导致拟合算法变得不稳定。<ref>{{Cite journal |last=Findlay |first=John W. A. |last2=Dillard |first2=Robert F. |date=2007-06 |title=Appropriate calibration curve fitting in ligand binding assays |url=http://dx.doi.org/10.1208/aapsj0902029 |journal=The AAPS Journal |volume=9 |issue=2 |doi=10.1208/aapsj0902029 |issn=1550-7416}}</ref>

== 二类评定模型（Binary Logit Model） ==
* 仅有两个可选项：V<sub>1n</sub>，V<sub>2n</sub>

{| class="wikitable"
!变量类型
!统计量
!组别比较
!回归模型
|-
|numerical
|mean
|t-test/ANOVA
|线性回归
|-
|categorical
|percentage
|Chi-square test
|逻辑斯谛回归
|-
|persontime
|KM estimates<br />(survival curves) 
|Log-rank test
|比例风险回归
|}

== 参考书目 ==
{{refbegin}}
* Agresti, Alan: Categorical Data Analysis. New York: Wiley, 1990.
* Amemiya, T., 1985, Advanced [[Econometrics]]，Harvard University Press.
* Hosmer, D. W. and S. Lemeshow: Applied logistic regression. New York; Chichester, Wiley, 2000.
{{refend}}

== 参见 ==
* [[多重变量分析]]

== 外部链接 ==
* [http://ufldl.stanford.edu/tutorial/supervised/LogisticRegression/ UFLDL：Logistic回归] {{Wayback|url=http://ufldl.stanford.edu/tutorial/supervised/LogisticRegression/ |date=20200915155206 }}
* [https://web.archive.org/web/20060914155939/http://luna.cas.usf.edu/~mbrannic/files/regression/Logistic.html 南佛羅里達大學Logistic回归課程]
* [http://statpages.org/logistic.html 線上計算Logistic回归] {{Wayback|url=http://statpages.org/logistic.html |date=20160120181422 }}

{{统计学}}

== 参考 ==
[[Category:统计学]]
[[Category:市场营销]]
[[Category:社会学]]
[[Category:心理学]]
[[Category:生物学]]
[[Category:回归分析]]